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编程学习线性代数02 - 向量加减与数乘

Posted by zihengCat on 2018-03-26

前言

本文讲解向量的加减与数乘，并通过编程实现它们。

向量加减

向量加法：两个向量首尾相接，由起点指向终点的新向量（三角形法则）。或将两个向量平移至共起点，作平行四边形，取对角线（平行四边形法则）。
向量减法：向量减法可以看作是则可以看成是一个向量加上一个大小相等，方向相反的向量（反向量），按向量加法进行运算。
向量加减满足交换律与结合律。

vector-triangle-law

向量运算三角形法则

vector-parallelogram-law

向量运算平行四边形法则

使用向量矩阵进行加减运算非常简便，各维度数值直接相加减即可。

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$ $$ v_{1} \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{bmatrix} \pm v_{2} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{n} \end{bmatrix} = v_{3} \begin{bmatrix} a_{1} \pm b_{1} \\ a_{2} \pm b_{2} \\ ... \\ a_{n} \pm b_{n} \\ \end{bmatrix} $$

向量数乘

一个标量与一个向量之间可以做乘法，相乘得到一个方向与原向量相同或相反，大小为原向量大小倍数的新向量。
-1与任意向量相乘会得到原向量的反向量，0与任意向量相乘会得到零向量。
直观的理解，向量数乘就是对向量做**”伸缩”**。
使用向量矩阵进行向量数乘运算也非常简便，各维度数值直接与标量相乘即可。

$$ k \cdot \overrightarrow{v} = k\overrightarrow{v} $$ $$ k \cdot \overrightarrow{v} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \overrightarrow{w} \begin{bmatrix} k \cdot x_{1} \\ k \cdot x_{2} \\ ... \\ k \cdot x_{n} \\ \end{bmatrix} $$

vector-scalar-multiply

向量数乘（数乘2）

向量线性运算的编程实现

在理解了向量加减与数乘线性运算后，我们来考虑编程实现它们。
在上一节构建的向量类上，我们再添加上数乘方法与加减运算方法。
向量数乘与加减的实现代码大同小异，取出向量各个维度的数值，分别相加、相减、数乘即可。

...
    # 向量加法(循环方法)
    def __add__(self, v):
        new_coordinates = []
        n = len(self.coordinates)
        for i in range(n):
            new_coordinates.append(self.coordinates[i] + v.coordinates[i])
        return Vector(new_coordinates)
    # 向量加法(列表生成式)
    def __sub__(self, v):
        new_coordinates = [x - y for (x,y) in
                           zip(self.coordinates, v.coordinates)]
        return Vector(new_coordinates)
    # 向量数乘(不重载运算符)
    def scalar_mul(self, c):
        new_coordinates = [c * x for x in self.coordinates]
        return Vector(new_coordinates)
...

向量的线性运算（Python实现）

def vector_add_sub_scalarmul_test():
    v = Vector([1, 2])
    w = Vector([2, 5])
    print(v + w, v - w)
    print(v.scalar_mul(3))
    print(w.scalar_mul(-1/2))

向量线性运算测试代码

参考资料

  • 同济高等数学（第7版）下册, P2 - P6
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