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编程学习线性代数03 - 向量长度与单位向量

Posted by zihengCat on 2018-03-27

前言

本文讲解向量长度与单位向量的求法，并通过编程实现。

向量长度

向量的两个基本属性是大小与方向，向量长度（英语: Magnitude，也叫向量的模长）便是向量的大小，它是一个标量。
我们可以这样理解，向量长度就是向量起点至终点的距离（两点间的距离）。想要计算向量长度，我们需要用到勾股定理。

$$ \lVert \overrightarrow{v} \rVert = \sqrt{ {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} } $$

vector-magnitude-2d

图 1: 二维向量的模长

对于二维向量的模长，我们可以很直观地理解。三维向量也是同样的道理。

$$ \lVert \overrightarrow{v} \rVert = \sqrt{ {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2} + {v_{z}}^{2} } $$

vector-magnitude-3d

图 2: 三维向量的模长

扩展到N维向量，我们就可以利用公式求向量长度了。

$$ \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ... \\ v_{n} \\ \end{bmatrix} $$ $$ \lVert \overrightarrow{v} \rVert = \sqrt{ {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} + ... + {v_{n}}^{2} } $$

单位向量

方向相同，长度不同的一组向量可以有无穷多个，其中，该方向上长度为1的向量就被称为单位向量。
单位向量被用作度量单位以及指示方向。例如，在三维直角坐标系中，X、Y、Z三个方向的单位向量分别为：

$$ i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} , j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} , k = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} $$

求一个方向上给定向量的单位向量，被称为正规化（英语: Normalization），单位向量也可以称为正规化向量。
求某方向上给定向量的单位向量，先求出给定向量的模长，再将原向量伸缩变成单位向量。
零向量没有单位向量，这可以理解为零向量不指示任何方向。

$$ \hat{v} = \frac{1}{ \lVert \overrightarrow{v} \rVert } \cdot \overrightarrow{v} $$

向量长度与向量正规化的编程实现

在理解向量长度与向量正规化（求单位向量）之后，我们来考虑它们的编程实现。
根据我们构建的以矩阵表示向量类，向量长度与向量正规化也是非常容易实现的。

# 导入math库以使用sqrt函数
import math
...
    # 向量模长(标量)
    def magnitude(self):
        coordinates_squared = [x**2 for x in self.coordinates]
        return math.sqrt(sum(coordinates_squared))
    # 向量正规化
    def normalized(self):
        try:
            v_magnitude = self.magnitude()
            return self.scalar_mul(1.0/v_magnitude)
        except:
            print("Something error")
            return None
...

向量长度与向量正规化的编程实现（Python）

def vector_magnitude_normalized_test():
    v = Vector([3, 4])
    w = Vector([2, 2, 2])
    print(v.magnitude())
    print(v.normalized())
    print(w.magnitude())
    print(w.normalized())
    v = Vector([0, 0])
    print(v.normalized())

向量长度与向量正规化的测试代码

参考资料

  • 同济高等数学（第7版）下册, P5 - P10
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